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Axiomas de separación y conjuntos convexos

C{/tex} es un punto medio del segmento {tex}\overline{AB}{/tex}i) {tex}

Definición:

Diremos que C es un punto medio del segmento \overline{AB}
i) C está entre A y B

ii) Las medidas satisfacen AC=BC, CA=CB o dicho de otra forma, los segmentos \overline{AC} y \overline{BC} son congruentes.

Axiomas de Separacion y conjuntos convexos:

Definición:

(Conjunto Convexo) Un conjunto de puntos es convexo si para cualquier par de puntos distintos del cojunto P y Q, el segmento \overline{PQ} está contenido en el conjunto.

 


Axioma - Postulado de separación del plano:

Dada una recta contenida en un plano, los puntos del plano que no estan en la recta forman dos conjuntos tales que cumplen las siguientes propiedades
i) Cada uno de los conjuntos es convexo
ii) Si P es un punto en uno de los conjuntos y P es un puntos en el otro conjunto, el segmento \overline{PQ}corta a la recta \cal L dada.


Definición:

(Semiplano) Dada una recta \cal L y un plano \alpha que la contiene, los dos conjuntos determinados por el postulado de separacion se llaman semiplanos o lados de la recta \cal L y \cal Lse denomina la arista o el borde de cada uno de esos conjuntos (semiplanos).

Si P es un punto que está en uno de los semiplanos y Q está en el otro de semiplano, entonces diremos que P y Q están en lados opuestos de la recta \cal L.

Si P y Q están en el mismo semiplano, diremos que P y Q están en un mismo lado respecto a la recta \cal L.

Axioma - Postulado de separación del espacio:

Dado un plano, los puntos del espacio que no estan en el plano dado forman dos conjuntos tales que
i) Cada uno de los conjuntos es convexo.
ii) Si P es un punto que está en uno de los conjuntos y Q es un punto que está en el otro, entoncves el segmento \overline{PQ} corta el plano.

Definición:

(Semiespacio) Dado un plano \alpha en el espacio, los dos conjuntos determinados por el postulado de separacion del espacio se llaman semiespacios o lados de \alpha y \alpha se denomina la cara de cada uno de ellos.


Angulos y Triangulos

Definición:

(Angulo) La unión de dos rayos que tienen un origen común y que no estan sobre una misma recta se denomina ángulo (excluyendo por ahora el ángulo llano y nulo). El origen común se denomina vértice y los rayos se denominan lados del ángulo.


Notación:

Si los lados de un ángulo son los rayos {OA}\limits^{\rightarrow} y {OB}\limits^{\rightarrow} denotamos el ángulo con los simbolos \angle AOB, \angle BOA (por convención el origen o vertic del angulo va en la mitad) o simplemente \angle O.


Definición:

Si A,By C son tres puntos no colineales, entonces la unión de los segmentos \overline{AB}, \overline{BC} y \overline{AC} se denomina un triangulo y se denota por \bigtriangleup ABC (donde el orden no es relevante). Los putnos A,By C se denomina vertices del triangulo y los segmentos \overline{AB}, \overline{BC} y \overline{AC} se denominan lados del triangulo y los angulos \angle A, \angle B Y \angle C se denominan angulos del triangulo.

Definición:

(Punto interior de un angulo) Un punto P es un punto interior de un angulo \angle AOB, si se satisfacen las siguientes condiciones:
i) P es un punto del plano \alpha que pasa por A, O y B.
ii) 
P y A estan de un mismo lado de la recta {OB}\limits^{\leftrightarrow}.
iii) P y Bestan de un mismo lado de la recta {OA}\limits^{\leftrightarrow}.

Ejercicio:

Probar que el interior de un angulo es convexo.
Si \cal A y \cal B son conjuntos convexos y \cal A\cap\cal B\neq\emptyset, entonces \cal A\cap\cal Bes convexo.

 


Definición:

El conjunto de puntos interiores de un angulo \angle AOB se denomina el interior del angulo \angle AOB.


Definición:

Un punto es interior de un triangulo, si es un punto interior de cada uno de los angulos del triangulo.
\cal A = \text {int}\angle A convexo.
\cal B = \text {int}\angle B convexo.
\cal C = \text {int}\angle C convexo.

Ejercicio:

Probar que el interior de un triangulo es convexo.
(\cal A\cap\cal B)\cap\cal C
\cal A\cap\cal B=\cal A\cap\cal B\cap\cal C
\cal A\cap\cal B=\cal A\cap\cal C =\cal C\cap\cal B

 

 

 


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