Menu
A+ A A-

Definición de Intersección

Definición:

  1. Diremos que dos rectas se cortan si tienen un punto en común.
  2. Diremos que dos rectas son paralelas si están en un mismo plano y no se cortan.
  3. Corolario: Dos rectas distintas en un plano o son paralelas o se cortan.


Proposición:

Dos planos distintos o no tiene puntos en común o tienen una recta en común.


Prueba:

Hipótesis: Sean \alpha y \beta dos planos distintos, consideremos los siguientes dos casos:

Caso 1: \alpha y \betatiene puntos comunes, sea A uno de estos puntos:

 

Por A.I.7, existe otro punto Bcomún a los planos \alpha y \beta.
Por A.I.1 existe una recta \cal L que pasa (contiene) a los puntos A y B.
Por A.I.6 podemos afirmar que la recta\cal L esta (simultáneamente) en ambos planos.

 

Caso 2: Supongamos que \alpha y \beta no tienen puntos en común, entonces la proposición es evidente.

Definición:

  1. Dos planos se cortan si tiene una recta en común.
  2. Diremos que dos planos son paralelos si no se cortan.


Proposición:

Si dos planos tienen una recta en común, esta recta es única.

Prueba:

Sean \alpha y \betados planos distintos y sea \cal Luna recta en común, supongamos que existe otra recta \cal L' que es común a los planos \alpha y \beta.Por A.I    podemos tomar dos puntos A yB sobre la recta \cal L. Ahora como \cal L \neq \cal L' entonces, existe un punto C en \cal L tal que C no esta en \cal L'. Entonces A, B, Cson puntos que no están sobre una misma recta y por el axioma de incidencia 5 A, B, Cestán en un único plano. Pero observemos que A, B, C están en los planos \alpha y \beta. Por lo tanto de lo anterior concluimos que \alpha es igual a\beta, pero esto es absurdo, por lo tanto no pueden existir dos rectas distintas comunes a los planos \alpha y \beta, es decir, si dos planos se cortan, ellos se cortan en una única recta.


Proposición:

Un plano y una recta que no este en el plano, tienen a lo sumo un punto en común


Definición:

  1. Diremos que un plano y una recta se cortan si tienen un punto en común.
  2. Diremos que una recta y un plano son paralelos si no se cortan.
  3. Diremos que una colección o conjunto de puntos no vacío es colineal si cada uno de los puntos de la colección están sobre una misma recta.
  4. Diremos que una colección no vacía de puntos es coplanar, si cada uno de los puntos de la colección están en un mismo plano.
  5. Diremos que una colección no vacía de rectas es coplanar si cada una de las rectas de la colección están en un mismo plano.


Notación:

Si una recta para por los puntos A yB notaremos dicha recta con el símbolo {AB}\limits^{\leftrightarrow}.


Ejercicios:

Determine si la siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si la afirmación es verdadera determine una prueba.

  1. Por dos rectas sin puntos comunes, pasa un plano que las contiene.
  2. Si dos rectas no tiene puntos comunes, entonces existe un plano que las contiene.
  3. Tres puntos están en un único plano.
  4. El espacio contiene por lo menos 4 puntos Prueba(A.I.8).
  5. Por una recta pasan al menos dos planos.
  6. Por un punto de una recta pasan mas de dos rectas.
  7. Dado un plano existe al menos una recta que lo corta y que no esta en el plano.
  8. Dada una recta en un plano, existe por lo menos otra recta en el plano que corta a la primera.
  9. Dado un plano, existe al menos otro plano que lo corta.
Etiquetas:

Discuta este artículo en el Foro
Usted necesita iniciar sesión o registrarse para participar en esta discusión.
QR-Code dieser Seite
  1. Destacado
  2. Recomendaciones

Iniciar Sesión ó Crear Cuenta



Iniciar sesión con Facebook