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Cálculo integral en una variable

Taller Sólidos de revolución

El área acotada por la curva y=x^{2} y la recta y=4 genera varios sólidos de revolución cuando gira a.) Alrededor del eje y b.) Alrededor de la recta y=4 c.)  Alrededor del eje x d.)  Alrededor de la recta y=-1 e.)  Alrededor de la recta x=2 Hallar el volumen generado en cada caso. Solución: a.) Alrededor del eje y V=2\pi\int_{0}^{2}x(4-x^{2})dx=2\pi\int_{0}^{2}4x-x^{3}dx \hspace{20}=2\pi\left[\frac{4x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=2\pi\left[8-4\right]=8\pi u^{3}         b.) Alrededor de la recta y=4 Desplazamos el sistema de coordenadas, reflejamos la funcion respecto al eje x y aprovechamos la simetria de la función respecto al eje y. Nueva función: y=4-x^{2} V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^{2})^{2}dx=2\pi\int_{0}^{2}(4-x^{2})^{2}dx \hspace{20}=2\pi\int_{0}^{2}(16-8x^{2}+x^{4})dx=2\pi\left[16x-\frac{8}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{2} \hspace{20}=2\pi\left[32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}\right]=\frac{512}{15}\pi u^{3}     c.)  Alrededor del eje x Utilizamos el método de las arandelas y de nuevo aprovechamos la simetría de la función respecto al eje yV=2\pi\int_{0}^{2}(4^{2}-(x^{2})^{2})dx \hspace{20}=2\pi\int_{0}^{2}(16-x^{4})dx=2\pi\left[16x-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{2} \hspace{20}=2\pi\left[32-\frac{32}{5}\right]=\frac{256}{5}\pi u^{3}       d.)  Alrededor de la...

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Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Carl Friedrich Gauss

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